Senioren-Universität Würzburg WS 2015


Geometrie und Symmetrie in der Physik

Vorlesung Senioren-Universität WS 2015:


Montag 14:15 - 15:45 Uhr

Oswald-Külpe Hörsaal Röntgenring 12

Universität Würzburg

Alles ist Geometrie


Pulsar
Auf den ersten Blick scheinen die verschiedenen Wechselwirkungen der Physik (elektromagnetische, schwache, starke und Gravitation) sehr unterschiedlich zu sein. Dennoch folgen sie alle aus einer einfachen und mathematisch eleganten Annahme, nämlich der sog. lokalen Eichinvarianz.

Unter der Invarianz bzw. Symmetrie eines Objektes versteht man, dass die Anwendung bestimmter Operationen dieses Objekt nicht verändert. Einfachstes Beispiel ist eine symmetrische geometrische Figur, wie etwa ein Dreieck. Die Rotation um die in der Abbildung angedeuteten Winkel lässt dieses Objekt unverändert. Diese "Rotationinvarianz" ist jedoch ein Beispiel für eine globale Symmetrie, da alle Punkte der geometrischen Figur gleichzeitig (und um den selben Winkel) rotiert werden. Unter einer lokalen Symmetrie versteht man, dass die Operation (in unserem Bsp. die Rotation) an jedem Punkt unabhängig ist.

Es ist schwierig sich ein geometrische Objekt vorzustellen, das eine solche Symmetrie besitzt. Bildlich gesprochen bewirkt z. Bsp. eine Rotation um verschiedene Winkel an verschiedenen Punkten eine Verzerrung und Stauchung der geometrischen Figur. Die Symmetrie kann nur dann bestehen, wenn diese "Kräfte" durch etwas kompensiert werden. Dies ist aber im Kern genau die Idee der Eichtheorien. Die Symmetrieoperationen wirken hier natürlich nicht auf geometrische Objekte, sondern auf den mathematischen Beschreibungen der Elementarteilchen. Aber tatsächlich handelt es sich um verallgemeinerte Rotationen, die an jedem RaumZeit-Punkt unabhängig (d.h. lokal) sind. Die dadurch auftretenden Verzerrungs-Effekte werden durch die Kräfte des Standard Modells kompensiert, wobei der Unterschied zwischen den Wechselwirkungen in der Invarianz unter verschiedenen Klassen von Symmetrieoperationen (sog. Eichgruppen) besteht.

Komet Rosetta
Leptonen und Quarks bilden Doubletten unter der schwachen Isospin-Gruppe SU(2). Davon gibt es genau drei Generationen. Warum nur drei?





Das Buch zur Vorlesung:

  • Max Camenzind: Geometrie und Eichtheorien in der Physik; Verlag CamKosmo, Heidelberg 2015; A4 sw 150 Seiten; kann nur vom Autor bezogen werden

Max Camenzind privat

Telefon: 06223 - 713 82
E-Mail: Martina_Camenzind@gmx.net

Daten und Themen der Vorlesung




19. Okt.: Geometrisierung der Physik


Einsteins Theorie der Gravitation war die erste geometrische Beschreibung einer Wechselwirkung - eine absolute Pionierarbeit! Vor 100 Jahren kannte man noch keine Faserbündel und Zusammenhänge, und selbst die Riemannsche Geometrie wurde von den meisten Physikern nicht verstanden. Das änderte sich erst in den 1950er-Jahren, als Yang und Mills die erste nicht-Abelsche Eichtheorie formulierten. Heute ist die lokale Eichinvarianz der Ausgangspunkt zur Formulierung aller vier fundamentalen Wechselwirkungen der Physik - in diesem Sinne ist Alles Geometrie.

2. Nov.: Geometrie des absoluten Raumes


Vektoren und Matrizen bilden das Handwerkzeug der Eichtheorien. Wir machen elementare Übungen zum Rechnen mit Vektoren und Matrizen sowie mit komplexen Zahlen. Man muss nur verstehen, worum es geht - die komplexen mathemathematischen Operationen übernehmen heute Tools im Internet, die ebenfalls vorgestellt werden.
==> Einführung in die Matrizenrechnung
==> Berechnung von Matrizen

Der Begriff "Tensor" löst üblicherweise beim Zuhörer Schrecken aus - wie früher das Erscheinen eines Kometen am Himmel. Wenn man aber weiss, was ein Tensor ist, wird das Leben viel einfacher. Tensoren kommen überall in der Physik vor, das bekannteste Beispiel ist sicher der Spannungstensor eines Festkörpers. Dieser kann geometrisch sehr anschaulich interpretiert werden. Ein weiteres Beispiel ist der metrische Tensor einer gekrümmten Fläche. Damit lassen sich Abstände zwischen Punkten auf der Fläche berechnen.

Komet Rosetta
Abb.: Der Spannungstensor ist ein symmetrischer Tensor 2. Stufe, bestehend aus drei Normalspannungen und 6 Schubspannungen

16. Nov.: 150 Jahre Maxwell-Gleichungen


James Clerk Maxwell formulierte die erste Feldtheorie der Physik vor 150 Jahren. Sie beruht auf dem Begriff des Vektorfeldes, das als geometrisches Objekt in die Physik eingegangen ist. Die Gleichungen beschreiben, wie elektrische und magnetische Felder untereinander zusammenhängen. Ohne Maxwells Gleichungen gäbe es heute kein Radio, kein Fernsehen und keinen Mobilfunk. Auch sind diese Gleichungen die erste Formulierung einer Eichtheorie in der Physik - wenn man die Gleichungen vier-dimensional schreibt. Für Einstein waren diese Gleichungen der Ausgangspunkt zur Formulierung der Speziellen Relativität - die Maxwell-Gleichungen sind nämlich nicht Galilei-invariant. Damit geriet das Gebäude der Newtonschen Mechanik ins Wanken.

30: Nov.: Geometrie mit Minkowski


Elektromagnetische Felder beherrschen unser Leben - auch wenn all die Handy-Besitzer sich dessen gar nicht bewusst sind. Maxwell hat die Theorie der elektromagnetischen Felder schon 1865 richtig formuliert. Diese Theorie war für Einstein der Auslöser der Speziellen Relativität. Und so wird diese Theorie tatsächlich zur ersten Eichtheorie einer Wechselwirkung, wenn wir sie im vierdimensionalen Minkowski-Raum formulieren.

14. Dez.: Das Eichprinzip mit Maxwell


Das grundlegende Konzept der Eichtheorie wurde 1918 von H. Weyl bei dem Versuch der Vereinheitlichung von Gravitation und Elektromagnetismus entwickelt, in der die vereinheitlichte Lagrange-Dichte invariant unter Rekalibrierung ("Eichung") der Längenskala ist. Zwar erwies sich Weyls Theorie als nicht gangbar, sie führte aber in der Folge zur Formulierung der Elektrodynamik als Eichtheorie und schließlich zum vereinheitlichten Standardmodell der Elementarteilchen als Prototyp einer Yang-Mills-Theorie.

Eichtheorie ist ein allgemeines Modell für eine Feldtheorie, das auf der Forderung nach Invarianz gegenüber lokalen Phasentransformationen aufbaut. Diese lokale Symmetrie hat sich als Grundbaustein für die Beschreibung der fundamentalen Wechselwirkungen von Elementarteilchen erwiesen, da die RaumZeit-Abhängigkeit der Transformationen die Existenz unabhängiger Vektorfelder verlangt, die in der physikalischen Natur den Eichbosonen entsprechen, welche die Wechselwirkungen der Teilchen übertragen.

18. Januar: Geometrisierung der Kraftfelder


Eichtheorie
Abb.: Das Standardmodell der Teilchenphysik hat auf einem T-Shirt Platz und ist eine nicht-Abelsche Eichtheorie für die Fermionenfelder Psi (Quarks und Leptonen). Feldtheorien werden mittels einer Lagrangedichte L definiert. [Grafik: CERN]

Aus quantenfeldtheoretischer Sicht ist die Forderung nach lokaler Eichinvarianz zwingend: Die Quantenmechanik lehrt, dass nur Wahrscheinlichkeitsdichten, nicht jedoch Phasenfaktoren beobachtbar sind, und das Kausalitätsprinzip verbietet die gleichzeitige, nicht-lokale Festlegung der Phasen im ganzen Universum, da dies eine instantane Informationsübertragung voraussetzen würde. Sowohl die elektromagnetische als auch die schwache und die starke Wechselwirkung werden heute als Eichtheorien formuliert. Die Gravitationstheorie läßt sich ebenfalls aus einer Eichsymmetrie gewinnen, allerdings nur auf klassischem Niveau und nicht - wie im Fall der anderen drei Wechselwirkungen - als Quantenfeldtheorie.

Das Eichprinzip kann auf höhere und nicht-abelsche Eichgruppen SU(N) erweitert werden. Bereits 1954 präsentierten C.N. Yang und R.L. Mills eine lokale Version der SU(2)-Eichsymmetrie zur Beschreibung stark wechselwirkender Hadronen. In der Folge hat sich für alle SU(N)-Eichtheorien die Bezeichnung Yang-Mills-Theorien eingebürgert. Das Standardmodell der Teilchenphysik ist eine nicht-Abelsche Eichtheorie.

Die Symmetrie SU(2)xU(1) der elektroschwachen Wechselwirkung ist gebrochen - der Vakuumzustand ist nicht eichinvariant, obschon die Dynamik nach wie vor eichinvariant ist. Das kosmische Vakuum des Higgs-Feldes weist einen Erwartungswert von 246 GeV auf. Spontane Symmetriebrechung ist ein Konzept der theoretischen Physik, das insbesondere im Standardmodell der Elementarteilchenphysik eine wichtige Rolle spielt. Man spricht von spontaner Symmetriebrechung, wenn der Grundzustand (der Zustand niedrigster Energie) eines physikalischen Systems weniger Symmetrien aufweist als die zugrunde liegenden Bewegungsgleichungen.

1. Februar: Geometrisierung der Gravitation


Die Formulierung der Gravitation als Eichtheorie ist erstens - aufbauend auf dem Erfolg der Beschreibung der starken, der schwachen und der elektromagnetischen Wechselwirkung als Eichtheorie - von der Suche nach einer vereinheitlichten Theorie der vier fundamentalen Wechselwirkungen motiviert und zweitens vom Mißerfolg bei der Quantisierung der Allgemeinen Relativitätstheorie (Quantengravitation) angeregt.

Die globale Symmetrie der Gravitation ist die Lorentz-Gruppe und der global symmetrische Grundzustand der Gravitation ist die Minkowski RaumZeit. Die Lorentz-Gruppe wird nun zu einer lokalen Symmetrie heruntergebrochen - die Inertialsysteme (als Vierbeine) beschreiben nur noch lokal die Physik. Der Transport der Vierbeine wird durch den Lorentz-Zusammenhang beschrieben, und der Riemann-Tensor ist der Feldtensor der Gravitation. Nur die Feldgleichungen sind nicht vom Typ der Yang-Mills Gleichungen.

Wie leben Gravitation und die andern Wechselwirkungen zusammen? Wie können diese Geometrien zusammengebracht werden? Das ist eines der ungelösten Probleme der modernen Physik. Garrett Lisi hat auf diese Frage eine unkonventionelle Antwort gegeben - die Gruppe E8!

........: Die Geometrie des Universums


Das Universum kann Newtonsch nicht verstanden werden - das Universum ist eine vierdimensionale RaumZeit. Die Gravitation des Universums ist Geometrie. Die Isotropie des Universums erlaubt nur Räume mit konstanter Krümmung, also 3-Sphären, 3-Hyperboloide und Euklidische Räume. Daneben weist die Materieverteilung eine fraktale Struktur auf, die sich im Laufe der Zeit herausgebildet hat. Im Wesentlichen ist sie aber schon in der Inflation angelegt worden. Die Untersuchung der Geometrie dieser fraktalen Struktur verlangt nach modernen Methoden.